jensen不等式证明，Jensen不等式

证明Jensen不等式

Jensen不等式是数学中的一种基本不等式，它在概率论、统计学、信息论等领域都有广泛的应用。本文将介绍Jensen不等式的证明过程。

凸函数的定义

在证明Jensen不等式之前，我们需要先了解凸函数的定义。一个函数f(x)在区间[a,b]上是凸函数，当且仅当对于任意的x1,x2∈[a,b]和任意的λ∈[0,1]，都有以下不等式成立：

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)

其中，λ被称为权重因子，表示x1和x2在凸组合中所占的比例。

Jensen不等式的证明

现在我们来证明Jensen不等式。假设f(x)是一个凸函数，x1,x2,...,xn是任意n个实数，且满足λ1+λ2+...+λn=1，其中λi≥0。那么，根据凸函数的定义，我们有：

f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)

这就是Jensen不等式的形式化表述。我们可以通过归纳法来证明它。

当n=2时，Jensen不等式就是凸函数的定义。假设当n=k时Jensen不等式成立，即：

f(λ1x1+λ2x2+...+λkxk)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λkf(xk)

现在考虑n=k+1的情况。我们可以将前k个数的权重因子缩小一点，然后将第k+1个数的权重因子增大一点，使得它们的和仍然为1。具体来说，我们可以令：

μi=λi/(1-λk+1)，i=1,2,...,k

μk+1=1

这样，我们就有：

μ1+μ2+...+μk+μk+1=1

根据归纳假设，我们有：

f(μ1x1+μ2x2+...+μkxk)≤μ1f(x1)+μ2f(x2)+...+μkf(xk)

将μi代入上式，我们得到：

f(λ1x1+λ2x2+...+λkxk+λk+1xk+1)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λkf(xk)+λk+1f(xk+1)

这就证明了Jensen不等式。

Jensen不等式是数学中的一种基本不等式，它在概率论、统计学、信息论等领域都有广泛的应用。本文介绍了Jensen不等式的证明过程，包括凸函数的定义和归纳法证明。通过学习Jensen不等式的证明，我们可以更好地理解凸函数的性质，并在实际问题中应用它们。